Tiago Madeira

Também conhecida como Insertion Sort, a Ordenação por Inserção consiste em inserir um elemento \(n\) num vetor já ordenado de \(n-1\) elementos. Neste artigo, apresento-lhes este simples algoritmo para ordenação de vetores.

O pseudocódigo da ordenação por inserção é o seguinte:

para j \leftarrow{} 2 até comprimento do vetor, faça
 elemento \leftarrow{} vetor[j]
 i \leftarrow{} j - 1
 enquanto i > 0 e vetor[i] > elemento, faça
     vetor[i + 1] \leftarrow{} vetor[i]
     i \leftarrow{} i - 1
 fim-enquanto
 vetor[i + 1] \leftarrow{} elemento
fim-para

Para explicar eu vou fazer uma coisa que sempre faço para corrigir meus algoritmos, fingir que sou o programa, executando cada passo manualmente (claro que geralmente faço mais rápido, porque não preciso escrever tudo que faço). Vamos iniciar com o seguinte vetor v.

<td>
  v[2]
</td>

<td>
  v[3]
</td>

<td>
  v[4]
</td>

<td>
  v[5]
</td>

<td>
  v[6]
</td>

<td class="preto">
  3
</td>

<td class="preto">
  7
</td>

<td class="preto">
  8
</td>

<td class="preto">
  2
</td>

<td class="preto">
  5
</td>

Aí o código me manda começar com \(j=2\) e iterar até o comprimento do vetor (6). A primeira ordem que ele me dá é para armazenar o elemento \(a[j]\) (a[2]) na variável elemento. Para facilitar toda a explicação eu vou sempre pintar de cinza o \(v[j]\) onde eu estou (no caso, o segundo elemento do vetor, 3) e de preto o vetor ainda não ordenado (elementos \geq{}j).

<td>
  v[2]
</td>

<td>
  v[3]
</td>

<td>
  v[4]
</td>

<td>
  v[5]
</td>

<td>
  v[6]
</td>

<td class="cinza">
  3
</td>

<td class="preto">
  7
</td>

<td class="preto">
  8
</td>

<td class="preto">
  2
</td>

<td class="preto">
  5
</td>

Então ele me diz que i \leftarrow{} j-1. Portanto, i=1. E agora ele me faz um enquanto (que poderia ser substituído por para) onde meu i deverá ir diminuindo. Vamos entrar no loop…

Bom, meu \(i = 1\) é maior que 0. \(v[1]=5\) é maior que o elemento=3? Sim, então vamos entrar no corpo do enquanto… Aqui ele me manda fazer um vetor[i+1] = vetor[i], que nesse caso é fazer um v[2]=v[1]=5.

<td>
  v[2]
</td>

<td>
  v[3]
</td>

<td>
  v[4]
</td>

<td>
  v[5]
</td>

<td>
  v[6]
</td>

<td class="cinza">
  5
</td>

<td class="preto">
  7
</td>

<td class="preto">
  8
</td>

<td class="preto">
  2
</td>

<td class="preto">
  5
</td>

E agora subtrai de i um valor. Portanto, i=0. Ele retorna ao enquanto, mas agora não satisfazemos a condição \(i>0\), por isso saímos do enquanto. Então ele pede para \(vetor[i+1]=elemento\) (v[1]=elemento). Portanto, o vetor fica assim:

<td>
  v[2]
</td>

<td>
  v[3]
</td>

<td>
  v[4]
</td>

<td>
  v[5]
</td>

<td>
  v[6]
</td>

<td>
  5
</td>

<td class="preto">
  7
</td>

<td class="preto">
  8
</td>

<td class="preto">
  2
</td>

<td class="preto">
  5
</td>

E incrementamos o j, agora j=3.

<td>
  v[2]
</td>

<td>
  v[3]
</td>

<td>
  v[4]
</td>

<td>
  v[5]
</td>

<td>
  v[6]
</td>

<td>
  5
</td>

<td class="cinza">
  7
</td>

<td class="preto">
  8
</td>

<td class="preto">
  2
</td>

<td class="preto">
  5
</td>

elemento = 7 i = 3-1 = 2

\(i > 0\)… E \(5 > 7\)? Não! Portanto, não entramos no enquanto.

\(v[3] = elemento\) (nenhuma mudança)

E lá vamos para \(j=4\) e continuando até que vamos ter o vetor ordenado:

<td>
  v[2]
</td>

<td>
  v[3]
</td>

<td>
  v[4]
</td>

<td>
  v[5]
</td>

<td>
  v[6]
</td>

<td>
  3
</td>

<td>
  5
</td>

<td>
  5
</td>

<td>
  7
</td>

<td>
  8
</td>

Qual a lógica?

Como eu já disse na introdução, mas lá sem grandes explicações, a Ordenação por Inserção divide o vetor em dois. O primeiro (de elementos \(< j\)) contém todos seus valores ordenados e o segundo (de elementos \(\geq{} j\)) contém os valores que devem ser inseridos no primeiro vetor já ordenado (por isso ele se chama Algoritmo de Inserção). A chave do algoritmo é o enquanto que acontece para ir deslocando todos os elementos para seu índice \(+1\)) contém todos seus valores ordenados e o segundo (de elementos \(\geq{}j\)) contém os valores que devem ser inseridos no primeiro vetor já ordenado (por isso ele se chama Algoritmo de Inserção).

A variável elemento só serve para não perdermos o valor de \(v[j]\) (porque depois fazemos \(v[i+1]=v[i]\) quando i=j-1)

Acredito que não tenham restado dúvidas. Dê mais uma olhada no algoritmo e tente implementar. Se tiver dificulade, coloque mensagens de debug estratégicas para entender o algoritmo. (ex.: no início do para coloque para imprimir o valor de j e no início de cada enquanto coloque para imprimir os valores elemento, i e v[i])

Custo

Você deve ter percebido que este algoritmo não tem um custo fixo. Se todo o vetor estiver ordenado, ele nunca precisará iterar o \(i\) e portanto será executado bem mais rápido do que se o vetor estiver inteiro em ordem decrescente (quando ele sempre precisará iterar \(i\) até o fim - 0). Então, neste artigo, gostaria-lhes de apresentar a análise de algoritmos baseada em casos. Para este programa, dizemos que:

• Melhor caso é quando todos os elementos já estão ordenados. Custo: \Theta{}(n)
• Pior caso é quando os elementos estão em ordem decrescente. Custo: \Theta{}(n^{2})

Em alguns programas o caso médio é importante também, mas não é o caso da ordenação por inserção. Vemos que há uma diferença bem grande entre o custo dos dois casos. Por isso, precisamos conhecer onde que nosso algoritmo será implementado e quais as chances de ele ser o melhor ou pior caso. Em geral, o pior caso é o mais comum… Por isso, diremos que o custo deste algoritmo é \Theta{}(n^{2}).