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Não existem potências de 2 que terminem com 02, 22, 42, 62, 82

ATENÇÃO: Este conteúdo foi publicado há 5 anos. Eu talvez nem concorde mais com ele. Se é um post sobre tecnologia, talvez não faça mais sentido. Mantenho neste blog o que escrevo desde os 14 anos por motivos históricos. Leia levando isso em conta.

Esses dias, tomando banho de mar, me vi pensando na forma das potências de dois em base dez.

É fácil ver que não existe potência de 2 que termine em 0, já que qualquer número que termina em 0 é múltiplo de 5.

Na verdade, é fácil ver (com um raciocínio indutivo com módulo 10) que o último algarismo das potências de 2 vai seguindo a sequência (2, 4, 8, 6) infinitamente, de tal forma que o último algarismo de 2^k (k > 0) é:

– 6, se o resto da divisão de k por 4 for 0
– 2, se o resto da divisão de k por 4 for 1
– 4, se o resto da divisão de k por 4 for 2
– 8, se o resto da divisão de k por 4 for 3

Mas aí fiquei pensando em potências de 2 que acabassem com uma porção de doises. Algo como 3103912840123891294805398108310312222 (esse número aí não tem nada de especial, foi só eu batendo no teclado loucamente e terminando com 2222). Como eu faria pra encontrá-las? Será que existem?

Comecei pensando em coisas do tipo 222…222, isto é 2 \times 10^n + 2 \times 10^{n-1} + 2 \times 10^{n-2} + \cdots + 2 \times 10^0

Podemos colocar 20 em evidência, ficando com 20 \times (10^{n-1} + 10^{n-2} + \cdots + 10^0) + 2.

A princípio isso não parece ajudar muito, mas vejam que interessante:

20 \times x + 2 = 2(10x+1) (x é qualquer número inteiro > 0)

Bem… 10x+1 certamente não é uma potência de 2 (porque termina em 1).

Logo, 2(10x+1) também não é uma potência de 2, independente da maluquice que a gente coloque no lugar de x.

Portanto, não existem potências de 2 que terminem em 22! Mais que isso: não existem potências da forma 20x+2, ou seja, não existem potências de 2 que terminem em 02, 22, 42, 62 ou 82! Não é incrível? Não é nada muito revolucionário ou complexo, mas nunca tinha parado pra pensar nisso.

Lá no início tínhamos visto que o último algarismo de 2^k é 2 se e somente se o resto da divisão de k por 4 for 1. Logo, concluímos (e dá pra imaginar várias outras provas simples pra esse fato, pensando bem, por exemplo notando que 12 \times 16 \equiv 12 \mod 20) que para todo k > 0 tal que o resto da divisão de k por 4 seja 1 vale que o resto da divisão de 2^k por 20 é 12.

As primeiras potências de 2 que terminam em 2 são:

2^1 = 2 (que ignorei aí em cima quando falei que x > 0 no 20x+2)
2^5 = 32
2^9 = 512
2^{13} = 8192
2^{17} = 131072
2^{21} = 2097152
2^{25} = 33554432

O que parece nos indicar que, da mesma forma que o último algarismo das potências de 2 seguem a sequência (2, 4, 8, 6), o penúltimo algarismo das potências de 2 que acabam em 2 seguem a sequência (9, 7, 5, 3, 1). Isso é fácil de ver: basta fazer umas multiplicações por 16 dentro do módulo 100.