Não existem potências de 2 que terminem com 02, 22, 42, 62, 82

Esses dias, tomando banho de mar, me vi pensando na forma das potências de dois em base dez.

É fácil ver que não existe potência de 2 que termine em 0, já que qualquer número que termina em 0 é múltiplo de 5.

Na verdade, é fácil ver (com um raciocínio indutivo com módulo 10) que o último algarismo das potências de 2 vai seguindo a sequência (2, 4, 8, 6) infinitamente, de tal forma que o último algarismo de 2k2^k (k > 0) é:

  • 6, se o resto da divisão de k por 4 for 0
  • 2, se o resto da divisão de k por 4 for 1
  • 4, se o resto da divisão de k por 4 for 2
  • 8, se o resto da divisão de k por 4 for 3

Mas aí fiquei pensando em potências de 2 que acabassem com uma porção de doises. Algo como 3103912840123891294805398108310312222 (esse número aí não tem nada de especial, foi só eu batendo no teclado loucamente e terminando com 2222). Como eu faria pra encontrá-las? Será que existem?

Comecei pensando em coisas do tipo 222…222, isto é 2×10n+2×10n1+2×10n2++2×1002 \times 10^n + 2 \times 10^{n-1} + 2 \times 10^{n-2} + \cdots + 2 \times 10^0.

Podemos colocar 20 em evidência, ficando com 20×(10n1+10n2++100)+220 \times (10^{n-1} + 10^{n-2} + \cdots + 10^0) + 2.

A princípio isso não parece ajudar muito, mas vejam que interessante:

20×x+2=2(10x+1)20 \times x + 2 = 2(10x+1) (x é qualquer número inteiro > 0)

Bem… 10x+110x+1 certamente não é uma potência de 2 (porque termina em 1).

Logo, 2(10x+1)2(10x+1) também não é uma potência de 2, independente da maluquice que a gente coloque no lugar de xx.

Portanto, não existem potências de 2 que terminem em 22! Mais que isso: não existem potências da forma 20x+2, ou seja, não existem potências de 2 que terminem em 02, 22, 42, 62 ou 82! Não é incrível? Não é nada muito revolucionário ou complexo, mas nunca tinha parado pra pensar nisso.

Lá no início tínhamos visto que o último algarismo de 2k2^k é 2 se e somente se o resto da divisão de k por 4 for 1. Logo, concluímos (e dá pra imaginar várias outras provas simples pra esse fato, pensando bem, por exemplo notando que 12×1612mod2012 \times 16 \equiv 12 \mod 20) que para todo k > 0 tal que o resto da divisão de k por 4 seja 1 vale que o resto da divisão de 2^k por 20 é 12.

As primeiras potências de 2 que terminam em 2 são:

  • 21=22^1 = 2 (que ignorei aí em cima quando falei que x > 0 no 20x+2)
  • 25=322^5 = 32
  • 29=5122^9 = 512
  • 213=81922^{13} = 8192
  • 217=1310722^{17} = 131072
  • 221=20971522^{21} = 2097152
  • 225=335544322^{25} = 33554432

O que parece nos indicar que, da mesma forma que o último algarismo das potências de 2 seguem a sequência (2, 4, 8, 6), o penúltimo algarismo das potências de 2 que acabam em 2 seguem a sequência (9, 7, 5, 3, 1). Isso é fácil de ver: basta fazer umas multiplicações por 16 dentro do módulo 100.

© 2005–2020 Tiago Madeira