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Grafos Ponderados

ATENÇÃO: Este conteúdo foi publicado há 12 anos. Eu talvez nem concorde mais com ele. Se é um post sobre tecnologia, talvez não faça mais sentido. Mantenho neste blog o que escrevo desde os 14 anos por motivos históricos. Leia levando isso em conta.

Um grafo é ponderado quando suas arestas possuem um peso. O que significa isso? Bom… Vamos supor que eu queira ir de um lugar pra outro, mas o mais importante pra mim não seja a distância entre eles mas o pedágio que vou ter que pagar para pegar cada aresta (estrada). Nesse caso, o peso de cada aresta seria o custo que eu tenho pra passar pela estrada. O problema então seria calcular o caminho onde eu pago menos (o caminho que tem a menor soma de preços) e não o menor caminho no grafo “não-ponderado” (onde consideramos aresta=1 e nada=0).

Neste grafo, por exemplo, o menor caminho de 0 a 3 não é a aresta 0–3, mas sim a aresta 0–2 e depois a aresta 2–3.

Para representar um grafo ponderado usando a matriz de adjacência, onde antes marcávamos “1”, marcamos o peso que temos de ir de um vértice para o outro e onde marcávamos “0” marcamos \infty{} (infinito)*.

  0 1 2 3 4 5
0 \infty \infty 3 5 \infty \infty
1 \infty \infty 2 \infty \infty \infty
2 3 2 \infty 1 \infty \infty
3 5 \infty 1 \infty \infty \infty
4 \infty \infty \infty \infty \infty 7
5 \infty \infty \infty \infty 7 \infty

* Na verdade, só fazemos isso porque neste caso iríamos querer o menor caminho e o 0 poderia atrapalhar, porque poderíamos ter um caminho sem pedágio, por exemplo, mas isso sempre depende do caso.

Usando listas de adjacência, podemos representar as ligações de cada vértice com dois vetores (um para dizer a qual ele se liga e outro o peso desta ligação) ou com um vetor de structs como:

struct edge {
    int destino, peso;
};

Representando Grafos na Programação

ATENÇÃO: Este conteúdo foi publicado há 12 anos. Eu talvez nem concorde mais com ele. Se é um post sobre tecnologia, talvez não faça mais sentido. Mantenho neste blog o que escrevo desde os 14 anos por motivos históricos. Leia levando isso em conta.

No último artigo, conhecemos a representação chamada “grafo” da seguinte maneira:

Como todos sabemos, seria bem difícil trabalhar uma árvore assim na programação! Por isso, existem várias maneiras de representar um grafo. Nesta série só vou usar as duas mais populares:

  • Matriz de Adjacência
  • Lista de Adjacência

Poderíamos falar também sobre a Matriz de Incidência, mas eu nunca precisei utilizá-la, então prefiro só entrar nessas duas mesmo.

Cada vértice é um número

Para representar um grafo, cada vértice sempre vai ser um número. No caso de você querer representar amizade entre duas pessoas, como no exemplo do Orkut no último artigo, você cria um vetor chamado nome[] que contém o nome de cada número…

  1. Eu
  2. João
  3. Maria
  4. José
  5. Pedro

Matriz de Adjacência

A matriz de adjacência é uma matriz de N x N (onde N é o número de vértices do grafo). Ela inicialmente é preenchida toda com 0 e quando há uma relação entre o vértice do x (número da coluna) com o do y (número da linha), matriz[x][y] é marcado um 1.

Vamos escrever este grafo aqui usando uma matriz de adjacência:

Matriz Inicial

  1 2 3 4 5
1 0 0 0 0 0
2 0 0 0 0 0
3 0 0 0 0 0
4 0 0 0 0 0
5 0 0 0 0 0

Relações do nosso grafo

Já que o grafo não é orientado, a relação 1–2 significa 2–1 também.

  • 1–2 (2–1)
  • 1–3 (3–1)
  • 2–3 (3–2)
  • 2–4 (4–2)
  • 4–5 (5–4)

Essas são as cinco arestas do nosso grafo. Vamos representá-la na matriz de adjacência:

  1 2 3 4 5
1 0 1 1 0 0
2 1 0 1 1 0
3 1 1 0 0 0
4 0 1 0 0 1
5 0 0 0 1 0

Simetria

Uma das características da matriz de adjacência quando o grafo não é orientado é a simetria encontrada na “diagonal”. É interessante que se lermos uma coluna de índice v ou uma linha de índice v vamos encontrar a mesma coisa.

Problemas da OBI

Alguns desses programas são complicados, mas isto não entra em questão. Apenas dê uma olhada no recebimento da entrada deles. Todos estão em C. O que eles têm em comum é a utilização de uma matriz de adjacência para guardar o grafo (geralmente nomeada g):

* – Grafo orientado
+ – Grafo ponderado (veremos no próximo artigo)
X – Não queira ver esse problema. Nunca vi solução mais feia. Já estou providenciando uma implementação mais decente… ;)

Descobrir o grau de cada vértice

Eu não disse pra vocês que era fácil conseguir emprego no Orkut? Hehehe… Vamos pensar como podemos descobrir o grau (relembrando… o número de arestas que cada vértice tem OU o número de amigos que cada pessoa tem) na matriz de adjacências. Não basta contar quantos 1s tem na sua linha correspondente? Então façamos isto.

para i \leftarrow{} 1 até N, faça
	grau \leftarrow{} 0
	para j \leftarrow{} 1 até N, faça
		se matriz[i][j] = 1, então
			grau \leftarrow{} grau + 1
		fim-se
	fim-para
	imprima "O vértice " i " tem grau " grau "."
fim-para

O custo é \Theta{}(n^{2}) até no melhor caso… Será que não há uma maneira mais simples de fazer isso? Imagina um negócio do tamanho do Orkut. Milhões de pessoas… Não seria bem mais fácil se ao invés de termos que passar por todos os vértices, só passarmos pelos amigos? Não poderíamos colocar somente seus amigos num vetor? É por isto que utilizamos a lista de adjacência.

Lista de Adjacência

A lista de adjacência consiste em criar um vetor para cada vértice. Este vetor contém cada vértice que o vértice “conhece” (tem uma aresta para). Geralmente é representada com uma matriz, porque cada vértice vai precisar de um vetor diferente, não é? Já que eu não vou ser duas vezes “amigo” de ninguém, então podemos fazer uma matriz de NxN.

  1 2 3 4 5
1          
2          
3          
4          
5          

A lista consiste em escrever para cada número de linha (= vértice) seus amigos, da seguinte maneira:

  1. 2, 3
  2. 1, 3, 4
  3. 1, 2
  4. 2, 5
  5. 4

Portanto, na programação seria representado da seguinte maneira:

  1 2 3 4 5
1 2 3      
2 1 3 4    
3 1 2      
4 2 5      
5 4        

O método da lista de adjacências tem várias vantagens: dependendo de como você implementa você não precisa inicializar a lista (zerar), as buscas são bem mais rápidas (você só passa pelos vértices que são “amigos” do atual) e geralmente você já tem o grau do vértice na ponta da língua (eu, pelo menos, sempre uso um vetor cont que contém o número de amigos de cada vértice para ficar mais fácil inserir o próximo elemento na lista – lista[cont[v]++]=w).

Como implementar

Vamos trabalhar com uma entrada de vários x, y, indicando relação entre x-y (y-x) até que x=0 e y=0. O grafo não é orientado.

Matriz de Adjacências

para i \leftarrow{} 1 até N, faça
	para j \leftarrow{} 1 até N, faça
		matriz[i][j] \leftarrow{} 0
	fim-para
fim-para

enquanto (recebe x, y e x \neq{} 0), faça
	matriz[x][y] \leftarrow{} 1
	matriz[y][x] \leftarrow{} 1
fim-enquanto

Tem vários exemplos implementados em C aqui.

Lista de Adjacências

para i \leftarrow{} 1 até N, faça
	grau[i] \leftarrow{} 0
fim-para

enquanto (recebe x, y e x \neq{} 0), faça
	lista[x][grau[x]++] \leftarrow{} y
	lista[y][grau[y]++] \leftarrow{} x
fim-enquanto

Para quem não programa em C, o variavel++ significa “incrementar variavel depois da instrução atual”.

As duas juntas

para i \leftarrow{} 1 até N, faça
	para j \leftarrow{} 1 até N, faça
		matriz[i][j] \leftarrow{} 0
	fim-para
	grau[i] \leftarrow{} 0
fim-para

enquanto (recebe x, y e x \neq{} 0), faça
	matriz[x][y] \leftarrow{} 1
	matriz[y][x] \leftarrow{} 1
	lista[x][grau[x]++] \leftarrow{} y
	lista[y][grau[y]++] \leftarrow{} x
fim-enquanto

Qual a representação que devo utilizar?

Isso depende totalmente do problema. Em alguns casos, o mais barato é usar as duas representações juntas. As vantagens da lista de adjacências eu já escrevi aqui. A única vantagem da matriz de adjacências é você em tempo constante (não é nem linear) saber se um vértice é amigo de outro. Afinal, basta testar matriz[v][w].

Até maio do ano passado, eu não tinha aprendido isso direito e sempre usava a matriz de adjacências. Por isso muitos dos meus problemas estão resolvidos de forma pouco eficiente… e isso pode ser crucial numa prova. Por isso, saiba usar as duas formas!

Os Grafos e o Orkut

ATENÇÃO: Este conteúdo foi publicado há 12 anos. Eu talvez nem concorde mais com ele. Se é um post sobre tecnologia, talvez não faça mais sentido. Mantenho neste blog o que escrevo desde os 14 anos por motivos históricos. Leia levando isso em conta.

Vou neste e nos próximos artigos falar-lhes sobre a Teoria dos Grafos. É uma coisa que poderia ser complicada, então pra facilitar o entendimento eu resolvi que trabalharemos sempre com exemplos da “vida real”. Neste artigo, vamos trabalhar com o Orkut como base, partindo do princípio que todo mundo sabe o que é o Orkut.

Neste primeiro artigo, só falarei sobre a definição do grafo e sua utilidade. Apresentarei as definições de: vértice, aresta, grau, grafo orientado, grau de entrada e grau de saída. Então, vamos lá!

A definição de grafo é muito simples. Segundo o Professor Cid Carvalho de Souza: Uma forma de representar uma relação binária entre elementos de um conjunto. Bom… É simplesmente uma representação de relações (que chamamos de arestas) entre objetos, que chamamos de vértices. Vamos logo ao exemplo: a amizade no Orkut.

Estão vendo esta árvore? Esta é a representação que chamamos de grafo. Vamos supor que este é o grafo das amizades do Orkut e as bolinhas nele são as seguintes pessoas:

  1. Eu
  2. João
  3. Maria
  4. José
  5. Pedro

Eu (número 1) tenho dois amigos: o João (número 2) e a Maria (número 3), porque estou ligado a eles. O João (número 2) tem três amigos: eu (número 1), a Maria (número 3) e o José (número 4). E assim podemos fazer com os outros contando as linhas que saem de cada pessoa.

Cada pessoa é um vértice e cada linha (relação entre duas pessoas) é uma aresta. Dizemos que é uma relação binária lá em cima, porque a relação é sempre entre dois vértices.

Os números de amigos que cada pessoa tem (o número de relações que cada vértice tem) é o que chamamos de “grau” de um vértice. Grau dos vértices do exemplo acima:

  1. 2
  2. 3
  3. 2
  4. 2
  5. 1

Pra quê serve o grafo?

Ora, se você consegue contar as arestas que saem de cada vértice na programação (se você sabe fazer algo básico como calcular o grau de um vértice), você pode oferecer seus serviços ao Google e ganhar milhões, pois, como todos sabem, o Orkut não sabe fazer isso direito!

Brincadeiras a parte… Grafos são extremamente úteis porque são representações bastante simples (você teve dificuldade para entender minha árvore ali em cima?) e essa estrutura deles aparece em muitos problemas computacionais. Além disso, existem muitos algoritmos eficientes para problemas complexos que utilizam estas representações.

Definições até agora

Traduzindo os conceitos do Orkut para os grafos:

  • Vértice: Pessoa.
  • Aresta: Amizade entre uma pessoa e outra.
  • Grau de um vértice: Número de amigos de uma pessoa.

Grafos Orientados

Um grafo é orientado quando eu sou seu amigo, mas você não é meu amigo. Você sabe que um grafo é orientado através da representação quando ele tem “setinhas”, como o grafo abaixo.

Vamos supor que isso aí é um mapa do Brasil. Ele despreza as cidades que não são importantes para o país, levando apenas em consideração portanto: São Paulo, Florianópolis e Itajaí.

  • São Paulo é a bolinha vermelha.
  • Florianópolis é a bolinha amarela.
  • Itajaí é a bolinha azul.

As arestas indicam que há uma estrada para você ir de uma cidade para a outra, mas só dá pra ir no sentido da estrada, que as setas representam. Portanto, você pode ir de São Paulo a Florianópolis, de São Paulo a Itajaí e Florianópolis a Itajaí, mas não de Itajaí para qualquer outro lugar.

Grau dos Vértices

Os graus dos vértices neste segundo grafo seriam os seguintes, certo?

  • São Paulo: 2
  • Florianópolis: 2
  • Itajaí: 2

Quase… Porém, nos grafos orientados nós temos dois tipos de grau diferentes. Dizemos que:

  • grau de entrada é o número de arestas que apontam para o vértice; e
  • grau de saída é o número de arestas que saem do vértice.

Portanto, os graus de entrada do nosso grafo são:

  • São Paulo: 0
  • Florianópolis: 1
  • Itajaí: 2

E os graus de saída:

  • São Paulo: 2
  • Florianópolis: 1
  • Itajaí: 0

Onde mais posso utilizar grafos?

Existem vários casos onde você vai querer usar grafos:

  • Mapas
  • Sua árvore genealógica
  • Hierarquia de uma empresa
  • Sistema de amizades do seu sistema de comunidades virtuais
  • … e muito mais. Na OBI já apareceu até um jogo de dominó como problema de grafos!

Como veremos nos próximos artigos, tem algoritmo pra fazer “tudo” em grafos… Então representar alguma coisa em grafos é muito útil pra poder descobrir uma série de coisas.

A maioria das páginas que eu conheço sobre grafos são muito malignas porque apresentam uns 50 conceitos diferentes de grafos juntos (ex.: grafo conexo, grafo desconexo, caminho, ciclo, etc.). Nos meus artigos, devo tratar um assunto de cada vez para facilitar o entendimento. Então, vou parar por aqui hoje.

No próximo artigo: Como representar um grafo na programação? Você já pode ir pensando nisso…